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如图,在矩形ABCD中,已知AB=2,BC=3,点E为AD边上一动点(不与A、D重合),连接CE,作EF⊥CE交AB边于F(1)求证:△AEF∽△DCE;(2)当△ECF∽△AEF时,求AF的长;(3)在点E的运动过程中,AD
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如图,在矩形ABCD中,已知AB=2,BC=3,点E为AD边上一动点(不与A、D重合),连接CE,作EF⊥CE交AB边于F

(1)求证:△AEF∽△DCE;
(2)当△ECF∽△AEF时,求AF的长;
(3)在点E的运动过程中,AD边上是否存在异于点E的点G,使△AGF∽△DCG成立?若存在,请猜想点G的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.

(1)求证:△AEF∽△DCE;
(2)当△ECF∽△AEF时,求AF的长;
(3)在点E的运动过程中,AD边上是否存在异于点E的点G,使△AGF∽△DCG成立?若存在,请猜想点G的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE,
∴∠AEF+∠CED=90°,
∴∠AFE=∠CED,
∴△AEF∽△DCE;
(2)∵△AEF∽△DCE,
∴AF:ED=EF:CE,
又∵△ECF∽△AEF,
∴EF:AF=CE:AE,即AF:AE=EF:CE,
∴AE=ED,
而AD=BC=3,
∴AE=ED=
,
又∵△AEF∽△DCE,AB=DC=2,
∴AF:DE=AE:DC,即AF:
=
:2,
∴AF=
;
(3)猜想:①当AE=DE,点G不存在;
②当AE≠DE,存在点G且AG=DE.证明如下:
如图,
∵△AEF∽△DCE,
∴AF:DE=AE:DC,
∵AG=DE,
∴DG=AE,
∴AF:AG=DG:DC,
而∠A=∠D=90°,
∴△AGF∽△DCG.

∴∠A=∠D=90°,
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE,
∴∠AEF+∠CED=90°,
∴∠AFE=∠CED,
∴△AEF∽△DCE;
(2)∵△AEF∽△DCE,
∴AF:ED=EF:CE,
又∵△ECF∽△AEF,
∴EF:AF=CE:AE,即AF:AE=EF:CE,
∴AE=ED,
而AD=BC=3,
∴AE=ED=
3 |
2 |
又∵△AEF∽△DCE,AB=DC=2,
∴AF:DE=AE:DC,即AF:
3 |
2 |
3 |
2 |
∴AF=
9 |
8 |
(3)猜想:①当AE=DE,点G不存在;
②当AE≠DE,存在点G且AG=DE.证明如下:
如图,
∵△AEF∽△DCE,
∴AF:DE=AE:DC,
∵AG=DE,
∴DG=AE,
∴AF:AG=DG:DC,
而∠A=∠D=90°,
∴△AGF∽△DCG.
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