如图，在矩形ABCD中，BD=10，AD＞AB，设∠ABD=α，∠DBC=β，已知sinα、sinβ是方程25x2-kx+12=0的一个实根，点E，F分别是BC，DC上的点，EC+CF=4，设BE=x，△AEF的面积等于y．（1）求AB•AD的值；（2）求

Question

如图，在矩形ABCD中，BD=10，AD＞AB，设∠ABD=α，∠DBC=β，已知sinα、sinβ是方程25x²-kx+12=0的一个实根，点E，F分别是BC，DC上的点，EC+CF=4，设BE=x，△AEF的面积等于y．
（1）求AB•AD的值；
（2）求出y与x之间的函数关系式，并求y的最小值．

Answer 1

（1）∵sinα=(AD)/(BD)，sinβ=(CD)/(BD)，BD=10，
∴sinα•sinβ=(c)/(a)=(AD)/(10)×(CD)/(10)=(12)/(25)，
∴AD×CD=48，
∴AB•AD的值为48；

（2）∵AB•AD的值为48，AB²+AD²=BD²=100，
∴（AB+AD）²-2AB•AD=100，
∴（AB+AD）²=196，
∴AB+AD=14，
∵AD＞AB，
∴AD=8，AB=6，
∵BE=x，
∴EC=8-x，FC=4-EC=x-4，DF=6-FC=10-x．
则△AEF的面积：y=8×6-(1)/(2)×6x-(1)/(2)×8（10-x）-(1)/(2)（8-x）（x-4）=(1)/(2)x²-5x+24（4＜x＜8）．