已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及Sn=a1+a2+a3+…+an；（2）试比较Sn与（n-2）2n+2n2的大小，并说明理由．

Question

已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）试比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）取x=1，则a₀=2ⁿ；
取x=2，则a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-2ⁿ；
（2）要比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，
即比较：3ⁿ与（n-1）2ⁿ+2n²的大小，
当n=1时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=2，3时，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=4，5时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
猜想：当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4时结论成立，
假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
两边同乘以3得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）²
即n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．
综上得，
当n=1时，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²；
当n=2，3时，S_n＜（n-2）2ⁿ+2n²；
当n≥4，n∈N^*时，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²