a.b∈R+,比较（a2+b2）～1/2与(a3+b3)～1/3的大小.

Question

a.b∈R+,比较（a2+b2）～1/2与(a3+b3)～1/3的大小.

Answer 1

(a-b)^2≥0 a^2-2ab+b^2≥0 a^2+b^2≥2ab
因为a、b都是正数,所以 a^2+b^2＞0,所以2(a^2+b^2)＞0
根据a^2+b^2≥2ab和2(a^2+b^2)＞0,得3(a^2+b^2)＞2ab
3(a^2+b^2)＞2ab两边均乘以a^2b^2,得3a^2b^2(a^2+b^2)＞2a^3b^3
即3a^4b^2+3a^2b^4＞2a^3b^3,两边均加a^6+b^6得a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+b^6＞a^6+2a^3b^3+b^6
即(a^2+b^2)^3＞(a^3+b^3)^2,两边求6次根即得：
(a^2+b^2)^1/2＞(a^3+b^3)^1/3