设向量组α1,α2,...,αm线性无关,β1可由α1,α2,...,αm线性表示,但β2不可由α1,α2...,αm线性表示,证明：α1,α2,...αm,λβ1+β2线性无关（其中λ为常数）,求老师解答,

Question

设向量组α1,α2,...,αm线性无关,β1可由α1,α2,...,αm线性表示,但β2不可由α1,α2...,αm线性表示,证明：α1,α2,...αm,λβ1+β2线性无关（其中λ为常数）,求老师解答,

Answer 1

用反证法,假设存在不全为0的k1,k2,...,k(m+1),使k1α1+...+kmαm+k(m+1)(λβ1+β2)=0,又设不全为0的h1,...,hm,使β1=h1α1+...+hmαm,则(k1+λh1k(m+1))α1+...+(km+λhmk(m+1))α1+k(m+1)β2=0,因为β2不可由α1,...