线性代数的这个定理是不是有问题啊!向量组α1,α2,α3,…,αm线性无关,添加向量β后所得向量组线性相关.则向量β可以由α1,α2,α3,…,αm线性表示,且表示式唯一.如果β是零向量怎么办?如果零向

Question

线性代数的这个定理是不是有问题啊!
向量组α1,α2,α3,…,αm线性无关,添加向量β后所得向量组线性相关.
则向量β可以由α1,α2,α3,…,αm线性表示,且表示式唯一.
如果β是零向量怎么办?如果零向量可以由α1,α2,α3,…,αm线性表示,那么与之前的向量组α1,α2,α3,…,αm线性无关矛盾啊

Answer 1

线性表示的定义：
给定向量组A：α1、α2、……、αm和向量β,如果存在一组数λ1、λ2、……、λm使β=λ1α1+λ2α2+……+λmαm,则向量β是向量组A的线性组合,这时称向量β能由向量组A线性表示.
所以在线性表示的定义中,并没要求λ1、λ2、……、λm不全为零,所以λ1、λ2、……、λm都是0,也一种线性表示.线性表示和线性无关是不同的概念,不要混淆了.