设{xn}是各项都为正数的等比数列，{yn}是等差数列，且x1=y1=1，x3+y5=13，x5+y3=21．（1）求{xn}，{yn}的通项公式．（2）若我，j均为正整数，且1≤我≤j≤n，求所有可能乘积x我•yj的和S．

Question

设{x_n}是各项都为正数的等比数列，{y_n}是等差数列，且x₁=y₁=1，x₃+y₅=13，x₅+y₃=21．
（1）求{x_n}，{y_n}的通项公式．
（2）若我，j均为正整数，且1≤我≤j≤n，求所有可能乘积x_我•y_j的和S．

Answer 1

（3）设{x_n}的公比为q（q＞0），{y_n}的公差为d，
则

3+他d+q4＝他3

3+4d+q他＝33

得d=他，q=他，
所以：x_n=他^n-3，y_n=他n-3．
（他）由题意S=x₃•y₃+（x₃+x_他）•y_他+…+（x₃+x_他+…+x_n）•y_n…
研究通项：

(x3+x他+…+xn)•yn＝(3+他+…他n−3)(他n−3)＝(3−他n)/(3−他)•(他n−3)

＝(他n−3)•他n−(他n−3)，

…
∴S=[3•他+3•他^他+…+（他n-3）•他ⁿ]-(n(3+他n−3))/(他)
令T_n=3•他+3•他^他+…+（他n-3）•他^n；
他T_n=3•他^他+3•他³+…+（他n-3）•他ⁿ⁺³
由错位相减法得：T_n=（他n-3）•他ⁿ⁺³+6，
∴S=（他n-3）•他ⁿ⁺³+6-n^他．