设函数f（x)在区间a,b]上等于sinx,而在此区间外等于0.若f（x)可以作为某连续型随机变量x的概率密度函数则区间a,b]为?

Question

设函数f（x)在区间【a,b]上等于sinx,而在此区间外等于0.若f（x)可以作为某连续型随机变量x的概率密度函数
则区间【a,b]为?

Answer 1

利用概率密度函数的归一性,也就是如果f(x)是某个连续性随机变量的概率密度函数,则应满足
∫[-∞,+∞] f(x)dx=1
所以由题目给的已知条件可知
要使 积分∫[-∞,+∞] f(x)dx=1
只需∫[a,b] sinx dx=1
又∫[a,b] sinx dx= -cosx在a到b上的增量=cosa-cosb
从而题目要求的是cosa-cosb=1
注意,要做为概率密度函数,还应具备非负性,即f(x)≥0,所以还要求sinx在[a,b]上要大于等于0,即要求[a,b]应该是第一第二象限的子集.
因此综上可知[a,b]要同时满足cosa-cosb=1和[a,b]包含于[2kπ,2kπ+π]
在[2kπ,2kπ+π]上cosx是减函数,所以cosb是最小的,cosa是最大的,所以答案应该有多个,
比如[2kπ+π/2,2kπ+π],或者[2kπ+π/3,2kπ+2π/3]或者[2kπ,2kπ+π/2],等