设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=13x3-2ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）

Question

设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=(1)/(3)x³-2ax与g（x）=x²+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b-a的最大值为（　　）

A．(1)/(2)
B．1
C．(3)/(2)
D．2

Answer 1

∵f（x）=(1)/(3)x³-2ax，g（x）=x²+2bx，
∴f′（x）=x²-2a，g′（x）=2x+2b；
由题意得f′（x）g′（x）≤0在（a，b）上恒成立，
∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x+2b＞0恒成立，
∴x²-2a≤0恒成立，即-√(2a)≤x≤√(2a)；
又∵0＜a＜x＜b，∴b≤√(2a)，
即0＜a≤√(2a)，解得0＜a≤2；
∴b-a≤√(2a)-a=-(√(a)−(√(2))/(2))2+(1)/(2)，当a=(1)/(2)时，取“=”，
∴b-a的最大值为(1)/(2)．
故选：A．