如图所示，竖直面内ABCD为一边长为d、质量为m、具有一定阻值的正方形刚性导线框，图中虚线是垂直于竖直面磁感应强度为B的匀强磁场的正方形边界，宽度为3d，其上边界与导线框的AB边平

Question

如图所示，竖直面内ABCD为一边长为d、质量为m、具有一定阻值的正方形刚性导线框，图中虚线是垂直于竖直面磁感应强度为B的匀强磁场的正方形边界，宽度为3d，其上边界与导线框的AB边平行，导线框从距离磁场上边界2d的位置自由竖直下落（不计空气阻力）．已知AB边刚进入磁场时，线框便以某一速度匀速运动．

（1）求导线框通过磁场上边界时产生感应电流I₀的大小．
（2）试比较CD边离开磁场下边界时，线框中的感应电流与I₀的大小关系．

Answer 1

（1）AB边进入磁场时匀速运动，所以有 mg=F_安；
即 mg=BI₀d
故得 I₀=(mg)/(Bd)
（2）线框匀速进入磁场的过程中，设重力做功为W_G、安培力做功为W₁．
则 W_G-W₁=0，即mgd=W₁；
根据E=BLv可知，若要线框离开磁场瞬间电流也等于I₀，则线框刚离开磁场时速度大小等于进入磁场的速度大小，则从线框完全进入磁场到线框完全离开磁场过程中重力与安培力做功之和为0，即：mg•3d-W₂=0
所以应有 W₂=3W₁；
而设AB边刚到磁场上边界时速度为v₀所受的安培力为F₁，AB边刚到下边界时速度大小为v₁，所受的安培力大小为F₂．
有：线框刚到磁场上边界时：mg•2d=(1)/(2)m

v

2 0

得 v₀=√(4gd)
故 F₁=(B2L2√(4gd))/(R) ①
线框刚到磁场下边界时：mg•2d=(1)/(2)m

v

2 1

-(1)/(2)m

v

2 0

得：v₁=√(8gd)
故 F₂=(B2L2√(8gd))/(R) ②
由①②可知，F₂<3F₁，且F₂之后继续减小，所以W₂<3W₁，即W₂<3mgd
设线框完全离开磁场时速度为v₂，有：mg•3d-W₂=(1)/(2)m

v

2 2

-(1)/(2)m

v

2 0

则知 v₂>v₀，所以(BLv2)/(R)>(BLv0)/(R)，即I>I₀．
答：
（1）导线框通过磁场上边界时产生感应电流I₀的大小是(mg)/(Bd)．
（2）CD边离开磁场下边界时，线框中的感应电流I与I₀的大小关系是I&