设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可微，且f（0）=f（1）=0，f（12）=1，证明：（1）存在ζ∈（12，1），使得f（ξ）=ξ；（2）存在η∈（0，ξ），使得f′（η）=f（η）-

Question

设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可微，且f（0）=f（1）=0，f（(1)/(2)）=1，证明：
（1）存在ζ∈（(1)/(2)，1），使得 f（ξ）=ξ；
（2）存在η∈（0，ξ），使得f′（η）=f（η）-η+1．

Answer 1

证明：令F（x）=f（x）-x，则F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导．（1）由已知条件可得，F(12)=f(12)-12=12>0，F（1）=f（1）-1=-1<0，故利用连续函数的零点存在定理可得，存在ξ∈（12，1），使得 F...