如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD=AB，DM⊥DC交AB于点M，DF平分∠MDC交BC于点F，交MC于点E，连AE，以下说法：①BC-AD=AM；②∠ADM+∠AEM=45°；③若AD=3AM，则BF=12AD．其中正确的是（）A．只有①

Question

如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD=AB，DM⊥DC交AB于点M，DF平分∠MDC交BC于点F，交MC于点E，连AE，以下说法：①BC-AD=AM；②∠ADM+∠AEM=45°；③若AD=3AM，则BF=(1)/(2)AD．其中正确的是（　　）

A．只有①②
B．只有①③
C．只有②③
D．①②③

Answer 1

解；过点D作DG⊥BC于点G，
∵直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD=AB，
∴四边形ABGD是正方形，
∵DM⊥DC，∠ADG=90°，
∴∠ADM=∠CDG，
∵在△ADM和△GDC中

∠MAD＝∠CGD

AD＝DG

∠ADM＝∠CDG

，
∴△ADM≌△GDC（ASA），
∴AM=GC，DM=CD，
∴①BC-AD=AM正确；
∵DF平分∠MDC交BC于点F，DM=DC，
∴∠DEM=∠DEC=90°
∴∠DAM+∠MED=180°
A，M，E，D四点共圆，
∴∠ADM=∠AEM，
∴∠DAE+∠DME=45°，
但是∠DAE无法得到是45°，
∴∠ADM+∠AEM=45°不能确定，故此选项错误；
连接MF，若AD=3AM，∴GC=(1)/(3)BG，
设AM=x，则AD=BG=3x，MB=2x，BC=4x，
∵由以上可得出，DF垂直平分MC，
∴FC=MF，
设MF=FC=y，
∴BM ²+BF ²=MF ²，
∴（2x） ²+（4x-y） ²=y ²，
解得：y=2.5x，
∴BF=1.5x，
∴BF=(1)/(2)AD，故此选项正确；
故选：B．