设函数f（x）在闭区间[a，b]（a<b）上可积，∫baf（x）dx=0，证明：若对任意x∈[a，b]，有f（x）≠0，则存在[c，d]⊆[a，b]，（c<d）使得对任意x∈[c，d]，均有f（x）>0．

Question

设函数f（x）在闭区间[a，b]（a<b）上可积，

∫

b a

f（x）dx=0，证明：若对任意x∈[a，b]，有f（x）≠0，则存在[c，d]⊆[a，b]，（c<d）使得对任意x∈[c，d]，均有f（x）>0．

Answer 1

证明：
反证法，
原命题：对任意区间[α，β]⊂[a，b]，都存ξ∈[α，β]，使f（ξ）<0，
否命题：假设对任意区间[α，β]⊂[a，b]，都存ξ∈[α，β]，使f（ξ）≥0，
任意分割△：a=x₀1<…n=b，都存在ξ_i∈[x_i-1，x_i]，使得f（ξ_i）≥0，
于是

∫

b a

f(x)dx=

lim

λ(△)→0

n

k=1

f(ξi)△xk≥0，
与题设条件

∫

b a

f(x)dx=0，矛盾．
故假设不成立，原命题成立．