已知a⊥α,a⊥l,l不包含于α,求证l∥α

Question

已知a⊥α,a⊥l,l不包含于α,求证l∥α

Answer 1

证明用反证法
先证明a与l相交时,设交点为P
假设l不平行α,则由l不包含于α,
则l与α相交,设交点为M,
再设a与α交于点N
则P.M.N三点构成直角三角形
再此三角形中,∠MPN=90°
∠PNM=90°
即∠MPN+∠PNM+∠PMN＞180°
这与三角形内角和定理矛盾
即假设不正确,故l∥α.
同理a与l不相交时,把l平移至与a相交的位置l'.
则证明方法如上
故综上知l∥α