如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G．（1）求证：四边形ABDE是菱形；（2）若BD=14，cos∠GBH=78，

Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G．

（1）求证：四边形ABDE是菱形；
（2）若BD=14，cos∠GBH=(7)/(8)，求GH的长．

Answer 1

（1）证明：∵AC∥BD，AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AC∥BD，
∴∠CAD=∠ADB，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD，
∴四边形ABDE是菱形；

（2） ∵∠ABC=90°，
∴∠GBH+∠ABG=90°，
∵AD⊥BE，
∴∠GAB+∠ABG=90°，
∴∠GAB=∠GBH，
∵cos∠GBH=(7)/(8)，
∴cos∠GAB=(7)/(8)，
∴(AB)/(AH)=(AG)/(AB)=(7)/(8)，
∵四边形ABDE是菱形，BD=14，
∴AB=BD=14，
∴AH=16，AG=(49)/(4)，
∴GH=AH-AG=(15)/(4)．