如图，等腰Rt△ABD中，AB=AD，点M为边AD上一动点，点E在DA的延长线上，且AM=AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．（1）求证：∠BEN=∠BGN．（2）求NGAB的值．（3）当M在AD上

Question

如图，等腰Rt△ABD中，AB=AD，点M 为边AD上一动点，点E在DA的延长线上，且AM=AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．
（1）求证：∠BEN=∠BGN．
（2）求(NG)/(AB)的值．
（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，并证明之．

Answer 1

（1）证明：连BM，
∵∠BAD=90°，
∴BA⊥EM，
∵AE=AM，
∴BE=BM，∠EBA=∠MBA，
在△BEN和△BMN中

BE＝BM

∠EBA＝∠MBA

BN＝BN

，
∴△BMN≌△BEN，
∴∠BMN=∠BEN，
∵BE=BG=BM，
∴∠BMN=∠BGN，
∴∠BEN=∠BGN．

（2）由（1）得，∠GBE=∠GNE=90°，
∴△NME等腰直角三角形，
∴AE=AN，
过G作GH⊥AB，垂足为H，
∴∠H=∠BAE=∠GBE=90°，
∴∠HGB+∠HBG=90°，∠HBG+∠ABE=90°，
∴∠HGB=∠EBA，
在△BGH和△ABE中

∠H＝∠BAE

∠HGB＝∠ABE

BG＝BE

，
∴△BGH≌△ABE，
∴BH=AE=AN，
HN=AB=GH，NG=√(2)GH=√(2)AB，
∴(NG)/(AB)＝√(2)．

（3）四边形BDNG是平行四边形，
理由是：∵∠DAN=∠BAE=90°，AN=AE，AB=AD，
∴△ADN≌△BAE，
∴DN⊥BE，DN=BE=BG，
又∵BG⊥BE，BG=BE，
∴BG∥DN，BG=DN
∴四边形BDNG为平行四边形．