（2014•松江区三模）已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F（-1，0）的距离为d2，且d2d1=22．直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（

Question

（2014•松江区三模）已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l₁：x=-2的距离为d₁，到点F（-1，0）的距离为d₂，且(d2)/(d1)=(√(2))/(2)．直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；
（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设P（x，y），则d1＝|x+2|，d2＝√((x+1)2+y2)，…（2分）
(d2)/(d1)＝(√((x+1)2+y2))/(|x+2|)＝(√(2))/(2)，
化简得：(x2)/(2)+y2＝1，
∴椭圆C的方程为：(x2)/(2)+y2＝1．…（4分）
（2）∵A（0，1），F（-1，0），
∴kAF＝(1−0)/(0−(−1))＝1，∠OFA+∠OFB=180°，
∴k_BF=-1，BF：y=-1（x+1）=-x-1…（6分）
代入(x2)/(2)+y2＝1，得：3x²+4x=0，
∴x＝0，或x＝−(4)/(3)，代入y=-x-1得

x＝0

y＝−1

(舍)，或

x＝−(4)/(3)

y＝(1)/(3)

，
∴B(−(4)/(3)，(1)/(3))…（8分）
kAB＝(1−(1)/(3))/(0−(−(4)/(3)))＝(1)/(2)，∴AB：y＝(1)/(2)x+1，…（10分）
（3）证明：由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B关于x轴的对称点B₁在直线AF上．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），B₁（x₂，-y₂）
设直线AF方程：y=k（x+1），代入(x2)/(2)+y2＝1，
得：(k2+(1)/(2))x2+2k2x+k2−1＝0，…（13分）
x1+x2＝−(2k2)/(k2+(1)/(2))，x1x2＝(k2−1)/(k2+(1)/(2))kAB＝(y1−y2)/(x1−x2)，AB：y−y1＝(y1−y2)/(x1−x2)(x−x1)，
令y=0，得：x＝x1−y1(x1−x2)/(y1−y2)＝(x2y1−x1y2)/(y1−y2)y₁
=k（x₁+1）-y₂
=k（x₂+1）x＝(x2y1−x1y2)/(y1−y2)＝(x2×k(x1+1)+x1×k(x2+1))/(k(x1+1)+k(x2+1))＝(2x1x2+x1+x2)/(x1+x2+2)
=(2×(k2−1)/(k2+(1)/(2))−(2k2)/(k2+(1)/(2)))/(2−(2k2)/(k2+(1)/(2)))＝−2，…（15分）
∴直线l总经过定点M（-2，0）…（16分）．