如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P在边AB上，点Q在边BC上，且BQ=x，AP=2x（0<x<5），连接PQ．（1）设△BPQ的面积为y，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（2）当x为何值时，

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P在边AB上，点Q在边BC上，且BQ=x，AP=2x（0<x<5），连接PQ．

（1）设△BPQ的面积为y，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（2）当x为何值时，△BPQ与△ABC相似．

Answer 1

（1）过P作PD⊥BC于点D，如图，

∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
又∵BQ=x，AP=2x，
∴PB=10-2x，
∵PD∥AC，
∴(PQ)/(AC)=(PB)/(AB)，
即(PD)/(6)=(10-2x)/(10)，
∴PD=6-(6x)/(5)，
∴y=(1)/(2)BQ•PD=(1)/(2)x（6-(6)/(5)x）=-(3)/(5)x²+3x，
该二次函数开口向下，当x=(5)/(2)时y有最大值，最大值为(15)/(4)；
（2）∵∠PBQ=∠CBA，∠C=90°，
∴当△BPQ与△ABC相似时有两种情况，
①当∠PQB=90°时，则有(BP)/(AB)=(BQ)/(BC)，即(10-2x)/(10)=(x)/(8)，解得x=(40)/(13)；
②当∠QPB=90°时，则有(BP)/(BC)=(BQ)/(AB)，即(10-2x)/(8)=(x)/(10)，解得x=(25)/(7)；
综上可知，当x为(40)/(13)或(25)/(7)时，△BPQ与△ABC相似．