已知椭圆C1：（a＞b＞0）的右顶点为A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1。（1）求椭圆C1的方程；（2）设点P在抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上，C2在点P处的切线与C1

Question

已知椭圆C ₁ ： （a＞b＞0）的右顶点为A（1，0），过C ₁ 的焦点且垂直长轴的弦长为1。

（1）求椭圆C ₁ 的方程；
（2）设点P在抛物线C ₂ ：y=x ² +h（h∈R）上，C ₂ 在点P处的切线与C ₁ 交于点M、N。当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值。

Answer 1

（1）由题意，得 从而 因此，所求的椭圆方程为 ；
（2）如图，设 则抛物线C 2 在点P处的切线斜率为 直线MN的方程为：y=2tx-t 2 +h 将上式代入椭圆C 1 的方程中，得4x 2 +（2tx-t 2 +h） 2 -4=0 即   ① 因为直线MN与椭圆C 1 有两个不同的交点， 所以①式中的Δ=16[-t 4 +2（h+2）t 2 -h 2 +4] >0  ② 设线段MN的中点的横坐标是x 3 ，则 设线段PA的中点的横坐标是x 4 ，则 由题意，得x 3 =x 4 ，即t 2 +（1+h）t+1=0  ③  由③式中的Δ 2 =（1+h） 2 -4≥0，得h≥1或h≤-3 当h≤-3时，h+2<0，4-h 2 <0，则不等式②不成立， 所以h≥1 当h=1时，代入方程③得t=-1 将h=1，t=-1代入不等式②，检验成立， 所以，h的最小值为1。