已知a∈R，函数f（x）=log2（1x+a）．（1）当a=1时，解不等式f（x）<0；（2）若a>0，不等式f（x）<log2（x+a+1x）恒成立，求a的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集

Question

已知a∈R，函数f（x）=log₂（(1)/(x)+a）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）<0；
（2）若a>0，不等式f（x）<log₂（x+(a+1)/(x)）恒成立，求a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由log₂（(1)/(x)+1)<0，得0<(1)/(x)+1<1，
解得x∈（-∞，-1）．
（2）由题意知(1)/(x)+a>0，x+(a+1)/(x)>0，得x∈（0，+∞），
又由题意可得(1)/(x)+a<x+(a+1)/(x)，即a<x+(a)/(x)，
又a，x∈（0，+∞），∴a<2√(a)，即0<a<4．
（3）(1)/(x)+a=（a-4）x+2a-5，（a-4）x²+（a-5）x-1=0，
当a=4时，x=-1，经检验，满足题意；
当a=3时，x₁+x₂=-1，经检验，满足题意；
当a≠3且a≠4时，x1=(1)/(a-4)，x₂=-1，x₁=x₂，
x₁是原方程的解当且仅当(1)/(x1)+a>0，即a>2；
x₂是原方程的解当且仅当(1)/(x2)+a>0，即a>1．
于是满足题意的a∈1，2]．
综上，a的取值范围为（1，2]∪{3，4}．