已知函数f（x）=|x+m|+|2x-1|（m>0）．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）当x∈[m，2m2]时，不等式12f（x）≤|x+1|恒成立，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=|x+m|+|2x-1|（m>0）．
（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；
（2）当x∈[m，2m²]时，不等式(1)/(2)f（x）≤|x+1|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）m=1时，f（x）=|x+1|+|2x-1|，
f（x）=

-3x，x<-1

2-x，-1≤x≤(1)/(2)

3x，x>(1)/(2)

，
∴f（x）≥3，解得：x≤-1或x≥1；
（2）(1)/(2)f（x）≤|+1|⇒(1)/(2)|x+m|+(1)/(2)|2x-1|≤|x+1|，
∵x∈[m，2m²]且m>0，
∴(1)/(2)x+(m)/(2)≤|x+1|-(1)/(2)|2x-1|⇒m≤2|x+1|-|2x-1|-x，
令t（x）=2|x+1|-|2x-1|-x=

3x+1，0<x≤(1)/(2)

3-x，x≥(1)/(2)

，
由题意得

m>0

m<2m2

⇒m>(1)/(2)，
t（x）_min=t（2m²）≥m⇒m≤1，
∴(1)/(2)<m≤1．