已知函数f(x)=2^∣x-m∣和函数g(x)=x∣x-m∣+2m-8已知函数f（x）=2|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8．（1）若m=2,写出函数f（x）的对称轴方程、并求函数g（x）的单调区间；（2）若对任意x1∈（-∞,4],均存

Question

已知函数f(x)=2^∣x-m∣和函数g(x)=x∣x-m∣+2m-8
已知函数f（x）=2|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8．
（1）若m=2,写出函数f（x）的对称轴方程、并求函数g（x）的单调区间；
（2）若对任意x1∈（-∞,4],均存在x2∈[4,+∞）,使得f（x1）=g（x2）成立,求实数m的取值范围．

Answer 1

f(x)=
2x-m (x≥m)2m-x(x＜m)​,则f（x）的值域应是g（x）的值域的子集．
①当4≤m≤8时,f（x）在（-∞,4]上单调减,
故f（x）≥f（4）=2m-4,g（x）在[4,m]上单调减,[m,+∞）上单调增,
故g（x）≥g（m）=2m-8,
所以2m-4≥2m-8,解得4≤m≤5或m≥6．
②当m＞8时,f（x）在（-∞,4]上单调减,
故f（x）≥f（4）=2m-4,g（x）在[4,
m2]单调增,[
m2,m]上单调减,[m,+∞）上单调增,g（4）=4m-16＞g（m）=2m-8
故g（x）≥g（m）=2m-8,所以2m-4≥2m-8,解得4≤m≤5或m≥6．
③0＜m＜4时,f（x）在（-∞,m]上单调减,[m,4]上单调增,故f（x）≥f（m）=1．g（x）在[4,+∞）上单调增,故g（x）≥g（4）=8-2m,
所以8-2m≤1,即72≤m＜4．
④m≤0时,f（x）在（-∞,m]上单调减,[m,4]上单调增,故f（x）≥f（m）=1．g（x）在[4,+∞）上单调增,
故g（x）≥g（4）=8-2m,所以8-2m≤1,即m≥
72．（舍去）
综上,m的取值范围是[
72,5]∪[6,+∞)．