设函数f（x）=|x-ax-b|，a，b∈R，若对任意实数a，b，总存在实数x0∈[0，4]使得不等式f（x0）≥m，求实数m的取值范围．

Question

设函数f（x）=|√(x)-ax-b|，a，b∈R，若对任意实数a，b，总存在实数x₀∈[0，4]使得不等式f（x₀）≥m，求实数m的取值范围．

Answer 1

设f（x）的最大值为M（b），
令u（x）=√(x)-ax-b，则u′（x）=(1)/(2√(x))-a
在x∈[0，4]上，
当u′（x）≥0，即a≤(1)/(4)时，u（x）单调递增，
此时-b≤u（x）≤2-4a-b，
当b≤1-2a时，M（b）=2-4a-b，当b>1-2a时，M（b）=b，
从而当a≤(1)/(4)时，b=1-2a时M（b）取最小值，M（b）_min=1-2a≥(1)/(2)，
当a>(1)/(4)时，u（x）在[0，(1)/(4a2)）上单调递增，在[(1)/(4a2)，4]上单调递减，
在a∈[(1)/(4)，(1)/(2)]时，-b≤u（x）≤(1)/(4a)-b，当b=(1)/(8a)时，M（b）_min=(1)/(8a)≥(1)/(4)，
在a∈（(1)/(2)，+∞）时，2-4a-b≤u（x）≤(1)/(4a)-b，当b=1-2a+(1)/(8a)时，M（b）_min=2a+(1)/(8a)-1>(1)/(4)，
综上所述，M（b）_min=(1)/(4)，
对任意实数a，b，总存在实数x₀∈[0，4]使得不等式f（x₀）≥m成立等价于m≤f（x）_max恒成立，
∴m≤(1)/(4)．