数学问题已知函数f(x)=x^3+3ax^2+3x+1,若x∈根号2,正无穷),f（x）≥0,求a的取值范围.

Question

数学问题
已知函数f(x)=x^3+3ax^2+3x+1,若x∈【根号2,正无穷),f（x）≥0,求a的取值范围.

Answer 1

x³+3ax²+3x+1≥0
3a≥-x-3/x-1/x²
故只需求右边的最大值.
设g(x)=-x-3/x-1/x²,x∈[√2,+∞)
g'(x)=-1+3/x²+2/x³=-(x³-3x-2)/x³
=-(x+1)²(x-2)/x³
令g'(x)=0得x=2.
g(x)在[√2,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减
所以g(x)max=g(2)=-15/4.
所以a≥-5/4.