计算I=∬Sgrad（yz+zx+xy+x+y+z）•dS，其中S为z=R2−x2−y2（R＞0）的上侧．

Question

计算I=

∬

S

grad（yz+zx+xy+x+y+z）•d

S

，其中S为z=√(R2−x2−y2)（R＞0）的上侧．

Answer 1

由于grad（yz+zx+xy+x+y+z）=（y+z+1，x+z+1，x+y+1）
∴I=

∬

S

grad（yz+zx+xy+x+y+z）•d

S

=

∫∫

S

(y+z+1)dydz+(x+z+1)dzdx+(x+y+1)dxdy
补充平面S1：z＝0(x2+y2≤1)，取下侧
设Ω是由曲面S和S₁所围成的封闭立体，则
Ω＝{(x，y，z)|0≤z≤√(R2−x2−y2)}，
设S在xoy面的投影为D，则
D={（x，y）|x²+y²≤R²}
∴由高斯公式，得
I＝

∫∫

S+S1

−

∫∫

S1

=

∫∫∫

Ω

[(y+z+1)x+(x+z+1)y+(x+y+1)]zdxdydz+

∫∫

D

(x+y+1)dxdy
=0+

∫∫

D

dxdy＝πR2