设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①{nn+1|n∈Z，n≥0}；②{x|x

Question

设集合X是实数集R的子集，如果点x ₀ ∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-x ₀ |＜a，称x ₀ 为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：
① {(n)/(n+1) |n∈Z，n≥0} ；  ②{x|x∈R，x≠0}；③ {(1)/(n) |n∈Z，n≠0} ；   ④整数集Z
以0为聚点的集合有（　　）

A．②③

B．①④

C．①③

D．①②④

Answer 1

①中，集合 {(n)/(n+1) |n∈Z，n≥0} 中的元素是极限为1的数列，
除了第一项0之外，其余的都至少比0大 (1)/(2) ，
∴在a＜ (1)/(2) 的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合 {(n)/(n+1) |n∈Z，n≥0} 的聚点
②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x= (a)/(2) （实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|= (a)/(2) ＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点
③集合 {(1)/(n) |n∈Z，n≠0} 中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在n＞ (1)/(a) ，使0＜|x|= (1)/(n) ＜a
∴0是集合 {(1)/(n) |n∈Z，n≠0} 的聚点
④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点
故选A