设函数f（x）=1xlnx（x＞0且x≠1）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知1xln2＞alnx对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．

Question

设函数f（x）=(1)/(xlnx)（x＞0且x≠1）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知(1)/(x)ln2＞alnx对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数的导数为f′(x)＝−(1+ln⁡x)/((xln⁡x)2)，由f′(x)＞0，得0＜x＜(1)/(e)，由f′(x)＜0，得x＞(1)/(e)且x≠1，
即函数在（0，(1)/(e)）上单调递增，在（(1)/(e)，1）及（1，+∞）上单调递减．
（2）因为x∈（0，1）时，lnx＜0，由(1)/(x)ln2＞alnx得a＞(ln⁡2)/(xln⁡x)，即求函数y＝(ln⁡2)/(xln⁡x)的最大值即可．
由（1）知，函数y＝(ln⁡2)/(xln⁡x)在（0，(1)/(e)）上单调递增，在（(1)/(e)，1）上单调递减，
所以函数y＝(ln⁡2)/(xln⁡x)在（0，1）上，当x=(1)/(e)时取得最大值为-eln2，所以a＞-eln2，
即实数a的取值范围（-eln2，+∞）．