已知函数f（x）=x+xlnx．（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值；（3）当n＞m≥4时，证明（mnn）m＞（nmm）n．

Question

已知函数f（x）=x+xlnx．
（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；
（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m≥4时，证明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

Answer 1

（1）因为f'（x）=lnx+2，所以f'（1）=2，
所以函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程y=2x-1；…（3分）
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，
即k＜(x+xlnx)/(x−1)对任意x＞1恒成立．…（4分）
令g(x)＝(x+xlnx)/(x−1)，则g′(x)＝(x−lnx−2)/((x−1)2)，…（4分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则h′(x)＝1−(1)/(x)＝(x−1)/(x)＞0，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（5分）
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x₀时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（6分）
所以函数g(x)＝(x+xlnx)/(x−1)在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
所以[g(x)]min＝g(x0)＝(x0(1+lnx0))/(x0−1)＝(x0(1+x0−2))/(x0−1)＝x0∈(3，4)．…（7分）
所以k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4）．
故整数k的最大值是3．…（8分）
（3）证明：由（2）知，g(x)＝(x+xlnx)/(x−1)是[4，+∞）上的增函数，…（9分）
所以当n＞m≥4时，(n+nlnn)/(n−1)＞(m+mlnm)/(m−1)．…（10分）
即n（m-1）（1+lnn）＞m（n-1）（1+lnm）．
整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n-m）．…（11分）
因为n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．…（12分）
即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ．即ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）．…（13分）
所以（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．…（14分）