设函数f（x）=ax2-xlnx-（2a-1）x+a-1（a∈R）（1）当a=0时，求函数f（x）在点P（e，f（e））处的切线方程；（2）对任意的x∈[1，+∞），函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Question

设函数f（x）=ax²-xlnx-（2a-1）x+a-1（a∈R）
（1）当a=0时，求函数f（x）在点P（e，f（e））处的切线方程；
（2）对任意的x∈[1，+∞），函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a=0时，f（x）=-xlnx+x-1，
f′（x）=-lnx，∴f′（e）=-lne=-1，
又f（e）=-elne+e-1=-1，
∴函数f（x）在点P（e，f（e））处的切线方程为：y+1=-1×（x-e），即x+y+1-e=0；
（2）由f（x）≥0，得ax²-xlnx-（2a-1）x+a-1≥0，
f′（x）=2ax-2a-lnx，令g（x）=2ax-2a-lnx，
则g′(x)=2a-(1)/(x)=(2ax-1)/(x)，
∵f′（1）=0，
∴只要g′（x）≥0，就有g（0）≥0，且g（x）单调递增，即f（x）≥f（1）=0．
∴2ax-1≥0，a≥(1)/(2)．
∴实数a的取值范围是[(1)/(2)，+∞）．