已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=n-g(x)2+2g(x)是奇函数．（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（2x-3）+f（x-k）>0恒成立，求k

Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=(n-g(x))/(2+2g(x))是奇函数．
（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（2x-3）+f（x-k）>0恒成立，求k的取值范围．已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=(n-g(x))/(2+2g(x))是奇函数．
（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（2x-3）+f（x-k）>0恒成立，求k的取值范围．(n-g(x))/(2+2g(x))是奇函数．
（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（2x-3）+f（x-k）>0恒成立，求k的取值范围．(n-g(x))/(2+2g(x))n-g(x)2+2g(x)n-g(x)n-g(x)2+2g(x)2+2g(x)

Answer 1

：（1）设g（x）=a^xx（a>0且a≠1），
∵g（3）=8，∴a³3=8，解得a=2．∴g（x）=2^xx．∴f（x）=(n-2x)/(2+2•2x)，
∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴n=1，∴f（x）=(1-2x)/(2+2x+1)，（x∈R）；
（2）由（Ⅰ）知f（x）=-(1)/(2)•(2x-1)/(2x+1)=-(1)/(2)+(1)/(2x+1)，易知f（x）在R上为减函数，
又f（x）是奇函数，∴f（2x-3）+f（x-k）>0，∴f（2x-3）>-f（x-k）=f（k-x），
∵f（x）在R上为减函数，由上式得2x-3<k-x，
即对一切x∈（1，4），有3x-3<k恒成立，
令m（x）=3x-3，x∈（1，4），
易知m（x）在（1，4）上递增，∴m（x）<3×4-3=9，
∴k≥9，即实数k的取值范围是[9，+∞）． (n-2x)/(2+2•2x)n-2x2+2•2xn-2xn-2xn-2xx2+2•2x2+2•2x2+2•2xx，
∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴n=1，∴f（x）=(1-2x)/(2+2x+1)，（x∈R）；
（2）由（Ⅰ）知f（x）=-(1)/(2)•(2x-1)/(2x+1)=-(1)/(2)+(1)/(2x+1)，易知f（x）在R上为减函数，
又f（x）是奇函数，∴f（2x-3）+f（x-k）>0，∴f（2x-3）>-f（x-k）=f（k-x），
∵f（x）在R上为减函数，由上式得2x-3<k-x，
即对一切x∈（1，4），有3x-3<k恒成立，
令m（x）=3x-3，x∈（1，4），
易知m（x）在（1，4）上递增，∴m（x）<3×4-3=9，
∴k≥9，即实数k的取值范围是[9，+∞）． (1-2x)/(2+2x+1)1-2x2+2x+11-2x1-2x1-2xx2+2x+12+2x+12+2x+1x+1，（x∈R）；
（2）由（Ⅰ）知f（x）=-(1)/(2)•(2x-1)/(2x+1)=-(1)/(2)+(1)/(2x+1)，易知f（x）在R上为减函数，
又f（x）是奇函数，∴f（2x-3）+f（x-k）>0，∴f（2x-3）>-f（x-k）=f（k-x），
∵f（x）在R上为减函数，由上式得2x-3<k-x，
即对一切x∈（1，4），有3x-3<k恒成立，
令m（x）=3x-3，x∈（1，4），
易知m（x）在（1，4）上递增，∴m（x）<3×4-3=9，
∴k≥9，即实数k的取值范围是[9，+∞）． -(1)/(2)12111222•(2x-1)/(2x+1)2x-12x+12x-12x-12x-1x-12x+12x+12x+1x+1=-(1)/(2)12111222+(1)/(2x+1)12x+11112x+12x+12x+1x+1，易知f（x）在R上为减函数，
又f（x）是奇函数，∴f（2x-3）+f（x-k）>0，∴f（2x-3）>-f（x-k）=f（k-x），
∵f（x）在R上为减函数，由上式得2x-3即对一切x∈（1，4），有3x-3令m（x）=3x-3，x∈（1，4），
易知m（x）在（1，4）上递增，∴m（x）<3×4-3=9，
∴k≥9，即实数k的取值范围是[9，+∞）．