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已知函数y=-12x(x>0)3x(x<0)的图象如图所示,点P是y轴负半轴上一动点,过点P作y轴的垂线交图象于A,B两点,连接OA、OB.下列结论:①若点M1(x1,y1),M2(x2,y2)在图象上,且x1<x2<0

题目详情

已知函数y=

-
12
x
(x>0)
3
x
(x<0)
的图象如图所示,点P是y轴负半轴上一动点,过点P作y轴的垂线交图象于A,B两点,连接OA、OB.下列结论:
①若点M1(x1,y1),M2(x2,y2)在图象上,且x1<x2<0,则y1<y2
②当点P坐标为(0,-3)时,△AOB是等腰三角形;
③无论点P在什么位置,始终有S△AOB=7.5,AP=4BP;
④当点P移动到使∠AOB=90°时,点A的坐标为(2
6
,-
6
).
其中正确的结论个数为(  )
作业帮

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

▼优质解答
答案和解析
①错误.∵x12<0,函数y随x是增大而减小,作业帮
∴y1>y2,故①错误.
②正确.∵P(0,-3),
∴B(-1,-3),A(4,-3),
∴AB=5,OA=
32+42
=5,
∴AB=AO,
∴△AOB是等腰三角形,故②正确.
③正确.设P(0,m),则B(
3
m
,m),A(-
12
m
,m),
∴PB=-
3
m
,PA=-
12
m

∴PA=4PB,
∵SAOB=S△OPB+S△OPA=
3
2
+
12
2
=7.5,故③正确.
④正确.设P(0,m),则B(
3
m
,m),A(-
12
m
,m),
∴PB=-
3
m
,PA=-
12
m
,OP=-m,
∵∠AOB=90°,∠OPB=∠OPA=90°,
∴∠BOP+∠AOP=90°,∠AOP+∠OPA=90°,
∴∠BOP=∠OAP,
∴△OPB∽△APO,
OP
AP
=
PB
OP

∴OP2=PB•PA,
∴m2=-
3
m
•(-
12
m
),
∴m4=36,
∵m<0,
∴m=-
6

∴A(2
6
,-
6
),故④正确.
∴②③④正确,
故选C.