已知a+b+c=0,求证：1/2(a^2+b^2+c^2)*1/5(a^5+b^5+c^5)=1/7(a^7+b^7+c^7)

Question

已知a+b+c=0,求证：1/2(a^2+b^2+c^2)*1/5(a^5+b^5+c^5)=1/7(a^7+b^7+c^7)

Answer 1

这题可以用牛顿公式处理（我没baidu到,所以我就不直接使用了）
设a,b,c是方程x^3+Ax^2+Bx+C=0的解
也就是A=-a-b-c=0,B=a b + a c + b c,C=-abc
那么,x^3=-(Ax^2+Bx+C)=-Bx-C
a+b+c=0
a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=-2B
a^3+b^3+c^3=-B(a+b+c)-3C=-3C
a^5+b^5+c^5=(-Ba-C)a^2+(-Bb-C)b^2+(-Bc-C)c^2
=-B(a^3+b^3+c^3)-C(a^2+b^2+c^2)=3BC+2BC=5BC
所以1/2(a^2+b^2+c^2)*1/5(a^5+b^5+c^5)=-B^2C
a^7+b^7+c^7
=a(-Ba-C)^2+b(-Bb-C)^2+c(-Bc-C)^2
=B^2(a^3+b^3+c^3)+2BC(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)C^2
=-3B^2C-4B^2C
=-7B^2C
所以1/7(a^7+b^7+c^7)=-B^2C
所以1/2(a^2+b^2+c^2)*1/5(a^5+b^5+c^5)=1/7(a^7+b^7+c^7)