基本不等式的使用问题a+b=1,求(a+2)^2+(b+2)^2的最小值.在这道题里,如果使用基本不等式的话就是(a+2)^2+(b+2)^2>=2(a+2)(b+2)当且仅当a+2=b+2时等号成立,把a=b代入能得到最小值为25/2.基本不等式在这道

Question

基本不等式的使用问题
a+b=1,求(a+2)^2+(b+2)^2的最小值.
在这道题里,如果使用基本不等式的话就是 (a+2)^2+(b+2)^2>=2(a+2)(b+2) 当且仅当a+2=b+2时等号成立,把a=b代入能得到最小值为25/2.基本不等式在这道题得到的是正确答案.
那么假设求a+1+1/a的最小值
如果我不按照通常求法,而是变成(a+1)+1/a>=2根号[(a+1)/a] 这个时候按照a+1=1/a求得的a值来求最小值却是完全错误的.
我不明白为什么两道同样都是只有在取等号情况下才是定值的题目,一道可以求出正解而另外一道就不行呢?像类似的题目能够用基本不等式吗?

Answer 1

(a+2)^2+(b+2)^2≥2(a+2)(b+2) 当且仅当a+2=b+2时等号成立,把a=b代入能得到最小值为25/2
这么写虽然得到最后的得数是正确的,但过程是错误的
用基本不等式时,≥（或≤）后面跟着的一定是个常数,不能含有未知数,像你写的2(a+2)(b+2)仍然是个式子,这样是不行的.上面那个题目可以这样写
把a+2和b+2看成整体,然后用这个不等式计算x^2+y^2≥(x+y)^2/2
(a+2)^2+(b+2)^2≥(a+2+b+2)^2/2 = 25/2
当a+2=b+2.后面不多写了
注意,一定后面得到的是常数,而不能是带未知数的
同样这个a+1+1/a也是,想要后面得到一个常数的话,应该是把(a+1/a)放一起
因为a+1/a≥2√a*1/a=2（常数）
再举个例子a^2+1/a这个
首先这个是不是直接a^2+2/a≥2√（a^2*2/a）因为后面不是一常数,为了得到常数
a^2+2/a=a^2+1/a+1/a≥3(3次√)(a^2*1/a*1/a)=3
当a^2=1/a=1/a时取等
这样才可以～