已知函数f（x）=ax2+bx-lnx（a＞0，b∈R）．（Ⅰ）设a=1，b=-1，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与-2b的大小．

Question

已知函数f（x）=ax²+bx-lnx（a＞0，b∈R）．
（Ⅰ）设a=1，b=-1，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与-2b的大小．

Answer 1

（I）a=1，b=-1时，f（x）=x²-x-lnx（x＞0），
∴f′(x)＝2x−1−(1)/(x)=((2x+1)(x−1))/(x)．
令f′（x）=0，解得x=1；令f′（x）＞0，解得x＞1；令f′（x）＜0，解得1＞x＞0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．
（II）f′（x）=2ax+b-(1)/(x)=(2ax2+bx−1)/(x)=(2a(x+(b+√(b2+8a))/(4a))(x−(−b+√(b2+8a))/(4a)))/(x)（a＞0），
令f′（x）=0，解得x=(√(b2+8a)−b)/(4a)．
当x＞(√(b2+8a)−b)/(4a)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜(√(b2+8a)−b)/(4a)时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=(√(b2+8a)−b)/(4a)时，函数f（x）取得最小值．
∵对任意x＞0，f（x）≥f（1）．
∴1=(√(b2+8a)−b)/(4a)，化为2a+b=1．
lna-（-2b）=lna+2-4a=g（a）．（a＞0）．
∴g′（a）=(1)/(a)-4=(1−4a)/(a)，
令g′（a）=0，解得a=(1)/(4)；令g′（a）＞0，解得0＜a＜(1)/(4)；令g′（a）＜0，解得a＞(1)/(4)．
∴当a=(1)/(4)时，函数g（a）取得最大值．
g((1)/(4))=ln(1)/(4)+2-4×(1)/(4)=-ln4＜0，
∴lna＜-2b．