证明对于大于1的任意正整数n都有Inn>1/2+1/3+1/4+...1/n

Question

证明对于大于1的任意正整数n都有 In n>1/2+1/3+1/4+...1/n

Answer 1

首先可求导证明:对x > 0,ln(1+x) > x/(1+x).
取x = 1/k,得ln(k+1)-ln(k) = ln(1+1/k) > 1/(k+1).
对k = 1,2,...,n-1求和即得ln(n) > 1/2+1/3+...+1/n.
如果学了定积分,可知ln(n) = ∫{1,n} 1/x dx表示曲线y = 1/x下的面积.
而1/2+1/3+...+1/n为曲线下的n-1个矩形的面积和.
自然成立ln(n) > 1/2+1/3+...+1/n.