若A为一个n阶方阵,且A²+5A+6I=0.证明,秩(A+2I)+秩(A+3I)=n.

Question

若A为一个n阶方阵,且A²+5A+6I=0.证明,秩(A+2I)+秩(A+3I)=n.

Answer 1

楼上的显然算错了, 你举的例子A²+5A+6I≠0
要证明R(A)+R(B)=n
思路为要证
i) R(A)+R(B)≤n <= AB=O
ii) R(A)+R(B)≥n <= R(A±B)=n
下面为证明过程:
i) (A+2I)(A+3I)= A²+5A+6I=0 , 所以R(A+2I)+R(A+3I)≤n
ii) R(A+2I)+R(A+3I)≥R[(A+2I)-(A+3I)]=R(-I)=n
由i)ii)得: R(A+2I)+R(A+3I)=n