已知z∈C，z+2i和z2-i都是实数．（1）求复数z；（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．

Question

已知z∈C，z+2i 和 (z)/(2-i) 都是实数．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+ai） ² 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．

Answer 1

（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，
(z)/(2-i) =(a+bi)/(2-i) =((a+bi)(2+i))/((2-i)(2+i)) =(2a-b)/(5) +(a+2b)/(5) i ，
∵z+2i 和 (z)/(2-i)  都是实数，∴

b+2=0

(a+2b)/(5) =0

，解得

a=4

b=-2

，∴z=4-2i．
（2）由（1）知z=4-2i，∴（z+ai） ² =[4+（a-2）i] ² =16-（a-2） ² +8（a-2）i，
∵（z+ai） ²  在复平面上对应的点在第四象限，∴

16- (a-2) 2 ＞0

8(a-2)＜0

，
即

a 2 -4a-12＜0

a＜2

，∴

-2＜a＜6

a＜2

，∴-2＜a＜2，即实数a 的取值范围是（-2，2）．