设｛an｝是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai+1的矩形的面积（i=1,2,3..设an各项为正数的无穷数列,A1是边长为a（i）a（i+1）的矩形面积（i=1,2,……）,则An为等比数列的充要条件为（）Aan是

Question

设｛an｝是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai+1的矩形的面积（i=1,2,3..
设an各项为正数的无穷数列,A1是边长为a（i）a（i+1）的矩形面积（i=1,2,……）,则An为等比数列的充要条件为（ ）
A an是等比数列
B a1,a2,…a(2n-1),…或a2,a4,…a(2n),…是等比数列
C a1,a2,…a(2n-1),…和a2,a4,…a(2n),…均是等比数列
D a1,a2,…a(2n-1),…和a2,a4,…a(2n),…均是等比数列,且公比相同
为什么不是A?

Answer 1

依题意可知Ai=ai•a(i+1),
则:A(i+1)=a(i+1)•a(i+2),
必要性：
由于{An}为等比数列
则
A(i+1)/Ai=a(i+2)/ai
=q（q为常数）
由于：i=1,2,3...,即i为任意正整数
则a1,a3,…,a(2n-1),…和a2,a4,…,a(2n),…均是等比数列,且公比均为q；
充分性：
a1,a3,…a(2n-1),…和a2,a4,…a(2n),…均是等比数列,且公比相同时
可得：a(i+2)/ai=t (t为公比)
则
A(i+1)/Ai
=(a(i+1)*a(i+2))/(ai*a(i+1))
=a(i+2)/ai
=t
为常数,
即{An}为等比数列
故{An}为等比数列的充要条件是a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同．
故选D