已知u，v是方程x2-4tx-1=0（t∈R）的两个不相等的实数根，函数f（x）=x-2t2x2+2的定义域为[u，v]，它的最大值、最小值分别记为f（x）max，f（x）min（I）当t=0时，求f（x）max，f（x）min（II）令g（t

Question

已知u，v是方程x²-4tx-1=0（t∈R）的两个不相等的实数根，函数f（x）=(x-2t)/(2x2+2)的定义域为[u，v]，它的最大值、最小值分别记为f（x）_max，f（x）_min
（I）当t=0时，求f（x）_max，f（x）_min
（II）令g（t）=f（x）_max-f（x）_min，求函数g（t）的解析式．

Answer 1

（I）当t=0时，由x²-1=0得x=±1，∴u=-1，v=1，f（x）=(x)/(2x2+2)（-1≤x≤1），
∵f′（x）=(2(1+x)(1-x))/((2x2+2)2)≥0，∴f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴f（x）_max=(1)/(4)，f（x）_min=-(1)/(4)；
（II）由题意，f′（x）=(-2(x2-4tx+1))/((2x2+2)2)≥0，
∴f（x）在[u，v]上单调递增，∴f（x）_max=f（v），f（x）_min=f（u）；
又u+v=4t，uv=-1，
∴g（t）=f（v）-f（u）=(v-2t)/(2v2+2)-(u-2t)/(2u2+2)=(√((u+v)2-4uv)[2t(u+v)-uv+1])/(2[(uv)2+(u+v)2-2uv+1])=(√(4t2+1))/(2)．