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已知u,v是方程x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不相等的实数根,函数f(x)=x-2t2x2+2的定义域为[u,v],它的最大值、最小值分别记为f(x)max,f(x)min(I)当t=0时,求f(x)max,f(x)min(II)令g(t
题目详情
已知u,v是方程x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不相等的实数根,函数f(x)=
的定义域为[u,v],它的最大值、最小值分别记为f(x)max,f(x)min
(I)当t=0时,求f(x)max,f(x)min
(II)令g(t)=f(x)max-f(x)min,求函数g(t)的解析式.
x-2t |
2x2+2 |
(I)当t=0时,求f(x)max,f(x)min
(II)令g(t)=f(x)max-f(x)min,求函数g(t)的解析式.
▼优质解答
答案和解析
(I)当t=0时,由x2-1=0得x=±1,∴u=-1,v=1,f(x)=
(-1≤x≤1),
∵f′(x)=
≥0,∴f(x)在[-1,1]上单调递增,
∴f(x)max=
,f(x)min=-
;
(II)由题意,f′(x)=
≥0,
∴f(x)在[u,v]上单调递增,∴f(x)max=f(v),f(x)min=f(u);
又u+v=4t,uv=-1,
∴g(t)=f(v)-f(u)=
-
=
=
.
x |
2x2+2 |
∵f′(x)=
2(1+x)(1-x) |
(2x2+2)2 |
∴f(x)max=
1 |
4 |
1 |
4 |
(II)由题意,f′(x)=
-2(x2-4tx+1) |
(2x2+2)2 |
∴f(x)在[u,v]上单调递增,∴f(x)max=f(v),f(x)min=f(u);
又u+v=4t,uv=-1,
∴g(t)=f(v)-f(u)=
v-2t |
2v2+2 |
u-2t |
2u2+2 |
| ||
2[(uv)2+(u+v)2-2uv+1] |
| ||
2 |
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