（2011•东城区一模）对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：Ann＝a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij=1；当i不能整除j时，aij=0．设t(j)＝n

Question

（2011•东城区一模）对于n∈N^*（n≥2），定义一个如下数阵：Ann＝

a11	a12	…	a1n
a21	a22	…	a2n
…	…	…	…
an1	an2	…	ann

，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，a_ij=1；当i不能整除j时，a_ij=0．设t(j)＝

n

i＝1

aij＝a1j+a2j+…+anj．
（Ⅰ）当n=6时，试写出数阵A₆₆并计算

6

j＝1

t(j)；
（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：

n

j＝1

t(j)=

n

i＝1

[ (n)/(i) ]；
（Ⅲ）若f(n)＝(1)/(n)

n

j＝1

t(j)，g(n)＝

∫

n 1

(1)/(x)dx，求证：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

Answer 1

（Ⅰ）依题意可得，A66＝

1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	1
0	0	1	0	0	1
0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	1	0
0	0	0	0	0	1

． 

6

j＝1

t(j)＝1+2+2+3+2+4＝14．
（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵A_nn的第j列的和，因此

n

j＝1

t(j)是数阵A_nn所有数的和．
而数阵A_nn所有数的和也可以考虑按行相加．
对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，[(n)/(i)]i．
因此数阵A_nn的第i行中有[(n)/(i)]个1，其余是0，即第i行的和为[(n)/(i)]．
所以

n

j＝1

t(j)=

n

i＝1

[ (n)/(i) ]．
（Ⅲ）证明：由[x]的定义可知，(n)/(i)−1＜[(n)/(i)]≤(n)/(i)，
所以

n

i＝1

(n)/(作业帮用户2016-12-08举报举报该用户的提问举报类型（必填）色情低俗辱骂攻击侮辱英烈垃圾广告不良流行文化骗取采纳其他举报理由（必填）0/100提交问题解析（Ⅰ）依题意可得，A66＝111111010101001001000100000010000001．6j＝1t(j)＝1+2+2+3+2+4＝14．（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此nj＝1t(j)是数阵Ann所有数的和．而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，[(n)/(i)]i．因此数阵Ann的第i行中有[(n)/(i)]个1，其余是0，即第i行的和为[(n)/(i)]．从而得到结果．（Ⅲ）由[x]的定义可知，(n)/(i)−1＜[(n)/(i)]≤(n)/(i)，所以ni＝1(n)/(i)−n＜ni＝1[(n)/(i)]≤ni＝1(n)/(i)．所以ni＝1(1)/(i)−1＜f(n)≤ni＝1(1)/(i)．再考查定积分∫n1(1)/(x)dx，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．名师点评本题考点：高阶矩阵；矩阵的应用．考点点评：本小题主要考查高阶矩阵、矩阵的应用、定积分等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)