求数项级数∑(n=1)1/[n*(2n+1)*(2^n)]的和,解题过程中的问题：（1）怎样由所给定的数项级数想到幂级数∑(n=1)[x^(2n)]/[n*(2n+1)]（2）当求出幂级数的收敛域为[-1,1],为什么设s(x)=x*∑(n=1)[x^(2n)]/[n*(2n+1)]

Question

求数项级数∑(n=1)1/[n*(2n+1)*(2^n)]的和,解题过程中的问题：
（1）怎样由所给定的数项级数想到幂级数∑(n=1)[x^(2n)]/[n*(2n+1)]
（2）当求出幂级数的收敛域为[-1,1],为什么设s(x)=x*∑(n=1)[x^(2n)]/[n*(2n+1)]
时,x的范围为(-1,1)
（3）∑(n=1)x^[2(n-1)]为什么等于1/[1-(x^2)]
（4）为什么当求出∫(0,x)s''(x)dx=∫(0,x)(2x)/[1-(x^2)]dx=-ln[1-(x^2)]时,不能直接得出s'(x)=-ln[1-(x^2)],还得说明一下因为s'(0)=0,才能得此结论

Answer 1

1、通项中有2^n,与幂级数形式相同,因此将2换为x,即考虑某个幂级数在x＝2的函数值.
2、幂级数与多项式类似,能无穷次求导.但要注意,设幂级数时尽量弄出求导后会变的简单的幂级数.本题中不乘以x,求导后系数更麻烦,乘以x后求导恰好能消掉2n+1.其实做多了后第一眼就知道应该设幂级数是x^(2n+1),而不是x^(2n).
3、等级级数的和.
4、Newton －Leibiniz公式：F(x)－F(a)＝积分（从a到x）F'(t)dt.
没有F(a)的话,那做积分只能得到一个原函数,但积分得到的原函数是否与题目给的函数相同是不知道的,必须再要求在某一点的函数值相等才行.因此题目中应该是S'(x)－S'(0)=积分（从0到x）S''(t)dt.