对正整数n≥2，记an＝n−1i＝1nn−i•12i−1（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求证：当n≥5时，有an≤103．

Question

对正整数n≥2，记an＝

n−1

i＝1

(n)/(n−i)•(1)/(2i−1)
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）求证：当n≥5时，有an≤(10)/(3)．

Answer 1

（1）依题意，a₂=(2)/(2−1)•(1)/(21−1)=2
同理可得a₃=3，a₄=a₅=(10)/(3)，---------------------（4分）
（2）下面用数学归纳法证明：当n≥5时，有a_n≤(10)/(3)．
①当n≤5时，由（1）可得a_n≤(10)/(3)；
②假设n=k时，a_k≤(10)/(3)（k≥5），
则n=k+1时，a_k+1=(k+1)/(k)+(k+1)/(k−1)×(1)/(2)+(k+1)/(k−2)×(1)/(22)+…+(k+1)/(1)×(1)/(2k−1)---------（6分）
=(k+1)/(k)+(k+1)/(2k)（(k)/(k−1)+(k)/(k−2)×(1)/(2)+…+(k)/(1)×(1)/(2k−2)）
=(k+1)/(k)+(k+1)/(2k)a_k---------------------------------（8分）
≤(k+1)/(k)+(10)/(3)×(k+1)/(2k)
=(k+1)/(k)×(8)/(3)
≤