（2014•潍坊模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=12，且满足2Sn+1=4Sn+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）当1≤i≤n，1≤j≤n（i，j，n均为正整数）时，求ai和aj的所有可能的

Question

（2014•潍坊模拟）已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=(1)/(2)，且满足2S_n+1=4S_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当1≤i≤n，1≤j≤n（i，j，n均为正整数）时，求a_i和a_j的所有可能的乘积a_ia_j之和．

Answer 1

（Ⅰ）∵2Sn+1＝4Sn+1 (n∈N*)，∴2Sn＝4Sn−1+1 (n≥2，n∈N*)，（1分）
两式相减得a_n+1=2a_n，∴(an+1)/(an)＝2(n≥2，n∈N*)，（2分）
由2S₂=4S₁+1得2（a₁+a₂）=4a₁+1，又a1＝(1)/(2)，∴a2＝1，(a2)/(a1)＝2．（3分）
∴数列{a_n}是首项为(1)/(2)，公比为2的等比数列，
∴an＝2n−2．（5分）
（Ⅱ）由a_i和a_j的所有可能乘积ai•aj＝2i+j−4（1≤i≤n，1≤j≤n）      （6分）
可构成下表：2^1+1-4，2^1+2-4，2^1+3-4，…，2^1+n-4，2^2+1-4，2^2+2-4，…，2^2+n-4，2^n+1-4，2^n+2-4，2ⁿ⁺³，…，2^n+n-4，（8分）
设上表第一行的和为T₁，则T1＝((1)/(4)(1−2n))/(1−2)＝(1)/(4)(2n−1)（10分）
于是Tn＝T1(1+2+22+…+2^n-1）=(1)/(4)(2n−1)(1−2n)/(1−2)=(1)/(4)(2n−1)2（12分）