设立体s是由圆锥面z=(x^2+y^2)^0.5和球面z=(1-x^2-y^2)^0.5所围成的区域,求立体s的体积

Question

设立体s是由圆锥面z=(x^2+y^2)^0.5和球面 z=(1-x^2-y^2)^0.5所围成的区域,求立体s的体积

Answer 1

由圆锥面方程z=(x^2+y^2)^0.5可知,它是一个位于Z 轴正方向顶点在坐标原点的倒圆锥,它与球面相交于z=√2/2的平面,则该立体S是由两部分组成,下部分是一个倒圆锥,底面半径我=√2/2,高为=√2/2,体积为V1=1/3×π×（√2/2）^2×√2/2==√2π/12；上部分是圆球球面 z=(1-x^2-y^2)^0.5与z=√2/2的平面所围成的区域,体积V2=∫πR^2dz,由方程z=(1-x^2-y^2)^0.5可知,x^2+y^2=1-Z^2,所以有V2==∫π（1-z^2）dz 对Z[√2/2,1]进行积分,计算得
V2=（8-5√2）π/12,Vs=V1+V2=(2-√2)π/3