求出曲面x^2+2y^2+z^2=4上垂直于平面x-2y+z=4的法线方程

Question

求出曲面x^2+2y^2+z^2=4上垂直于平面x-2y+z=4的法线方程

Answer 1

设F（x，y，z）=x^2+2y^2+z^2-4
则曲面上任意一点的法向量n=（Fx，Fy，Fz）=（2x，4y，2z）
法线方程垂直于平面x-2y+z=4
则n平行于平面法向量（1，-2,1）
所以2x/1=4y/（-2）=2z/1=t
故x=t/2 y=-t/2 z=t/2
代入到曲面方程中解出t=2或-2
得到切点是（1，-1，1）或（-1,1，-1）
法线方程是（x-1）/1=（y+1）/（-2）=（z-1）/4或（x+1）/1=（y-1）/（-2）=（z+1）/4