几道关于偏导的题1设F(X,Y)具有一阶连续偏导数,且(Fx)的平方+（Fy）的平方不等于0.对任意实数t有F(tx,ty)=tF(x,y),试证明曲面Z=F(X,Y)上任一点(X0,Y0,Z0)处的发现与直线(X/X0)=(Y/Y0)=(Z/Z0)相垂直.符号不

Answer 1

设曲面为：f(x,y,z)=F(x,y)-z,则
曲面上任一点（x0,y0,z0）处的法向量为{Fx(x0,y0),Fy(x0,y0),-1}
直线的方向向量为{x0,y0,z0}
则曲面Z=F(X,Y)上任一点(X0,Y0,Z0)处的法线与直线(X/X0)=(Y/Y0)=(Z/Z0)相垂直
x0*Fx(x0,y0)+y0*Fy(x0,y0)=z
即z=F(x,y)=x*Fx+y*Fy恒成立
又F(tx,ty)=tF(x,y),设u=tx,v=ty,得
F(u,v)=tF(x,y)
方程左右两边同时对t求偏导,得
x*Fu+y*Fv=F(x,y)
左右同时乘以t,得
tx*Fu+ty*Fv=tF(x,y)=F(tx,ty)
即u*Fu+v*Fv=F(u,v)
亦即x*Fx+y*Fy=F(x,y)=z
命题得证