从定义上证明：y=x^2/3在除了0处可微如题不是证明在0处不可微，而是证明在除了0的地方可以微分

Question

从定义上证明：y=x^2/3 在除了0处可微
如题
不是证明在0处不可微，而是证明在除了0的地方可以微分

Answer 1

用定义证明如下：
y(x)=x^2/3
lim(△x→0)(y(x+△x)-y(x))/△x
=lim(△x→0)((x+△x)^2/3-x^2/3)/△x
=lim(△x→0)((x+△x)^2/3-x^2/3)((x+△x)^4/3+(x+△x)^2/3*x^2/3+x^4/3)/△x((x+△x)^4/3+(x+△x)^2/3*x^2/3+x^4/3) (a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2))
=lim(△x→0)((x+△x)^2-x^2)/△x((x+△x)^4/3+(x+△x)^2/3*x^2/3+x^4/3)
=lim(△x→0)(2x△x+△x^2)/△x((x+△x)^4/3+(x+△x)^2/3*x^2/3+x^4/3)
=lim(△x→0)(2x+△x)/((x+△x)^4/3+(x+△x)^2/3*x^2/3+x^4/3) (因为x不等于0,故让△x趋于0)
=2x/(x^4/3+x^2/3*x2/3+x^4/3)
=2/3x^(-1/3)
故y=x^2/3 在x不等于0处可微
下面证明该函数在x=0处是不可微的
lim(△x→0)(y(x+△x)-y(x))/△x
=lim(△x→0)((x+△x)^2/3-x^2/3)/△x
=lim(△x→0)((△x^2/3)/△x
=lim(△x→0)△x^(-1/3)
=∞,
故该函数在x=0处是不可微的
综上所述,y=x^2/3 在除了0处可微