关于微分的概念以及与积分,不定积分的关系上大学一年,有个问题一直没懂,首先微分是针对变量的还是函数的,比如y=f(x),dy是否可以脱离dx而存在,按书中dy由dx定义,但是从微分方程中的变量分

Question

关于微分的概念以及与积分,不定积分的关系
上大学一年,有个问题一直没懂,首先微分是针对变量的还是函数的,比如y=f(x),dy是否可以脱离dx而存在,按书中dy由dx定义,但是从微分方程中的变量分离法中可看出dy可以脱离dx进行不定积分,还有不定积分中积分号后面的是导函数配上一个记号d（）,还是就是一个微分形式.关于上述问题的一个例子：若y=f(x).z=g(y),在第一个中dy不是Δy,是f'(x)Δx,而在第二个里面dy就是Δy.这不是矛盾么.

Answer 1

在数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述.微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的.
　设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内.如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数）,而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小,注：o读作奥密克戎,希腊字母,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx.函数的微分是函数增量的主要部分,且是Δx的线性函数,故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）.
　　通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx.于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx.函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.因此,导数也叫做微商.
　　当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X),如果存在一个与△X无关的常数A,使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量,则称A·△X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微.一元微积分中,可微可导等价.记A·△X=dy,则dy=f′(X)dX.例如：d(sinX)=cosXdX.
　　微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的,在微小局部可以用直线去微分近似替代曲线,它的直接应用就是函数的线性化.微分具有双重意义：它表示一个微小的量,因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值,这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想.