求椭圆x^2+y^2=R^2x+y+z=1的长半轴和短半轴用多元函数极值的方法求,正确可追加100

Question

求椭圆 x^2+y^2=R^2 x+y+z=1 的长半轴和短半轴 用多元函数极值的方法求,
正确可追加100

Answer 1

椭圆的最高点和最低点之间的一段,就是长轴
因为z=1-x-y
构造F=1-x-y+λ(x^2+y^2-R^2)
令F‘x=-1+2λx=0
F'y=-1+2λy=0
F'λ=x^2+y^2-R^2=0
求得两个极值点A(R/√2,R/√2,1-√2R),B(-R/√2,-R/√2,1+√2R)
所以长轴为|AB|=2√3R
所以长半轴为a=√3R
椭圆面积S=∫∫√3dxdy=√3πR^2=πab (积分区域是底面投影圆 x^2+y^2=R^2）
得到短半轴b=R