设正实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2=1,求证x^2yz+y^2xz+z^2xy

Question

设正实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2=1,求证x^2yz+y^2xz+z^2xy

Answer 1

答：
x,y,z>0,
xy/z+yz/x≥2y（均值不等式）
xy/z+xz/y≥2x
yz/x+xz/y≥2z
三式相加,
xy/z+yz/x+xz/y≥x+y+z
两边同乘以xyz
x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2≥x^2yz+y^2xz+z^2xy
(xy+yz+xz)^2=x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2(x^2yz+y^2xz+z^2xy)
≥3(x^2yz+y^2xz+z^2xy)
另外(x-y)^2+y^2+(z-x)^2≥0,展开
x^2+y^2+z^2≥xy+yz+xz
所以1^2≥3(x^2yz+y^2xz+z^2xy)
x^2yz+y^2xz+z^2xy≤1/3.
如果知道排序不等式,这样证比较简单
3(x^2yz+y^2xz+z^2xy)
≤3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)
≤2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+(x^4+y^4+z^4)
=(x^2+y^2+z^2)^2=1
所以x^2yz+y^2xz+z^2xy≤1/3.